关于高次函数极限保号性的证明。p37定理中函数极限保号性的证明，而你说的数列极限保号性，其实就是函数极限保号性的一个特例，连续函数的局部保号性质是什么？保号是指满足一定条件(如极限的存在性或连续性)的函数的符号在局部范围内保持恒定的正或负的性质。
保号性是指满足一定条件(如极限的存在性或连续性)的函数的号在局部范围内保持恒定的正或负的性质。如果函数在某一点的极限不等于零，那么在这个点附近(即定理中的空心邻域)，函数具有保号的性质(与极限的符号相同)。保数准则:比如当x趋于0时，函数为正，那么在0的周围范围内，函数值仍然为正。首先注意理解这个包围，是指0的左右两边。如果题目极限理论趋向于0，那么周围指的是从正数趋向于0的部分。
情况需要区分。(1)如果是[证明]极限，ε必须是任意的。(2)在这个问题中，已知极限存在，即极限定义已经满足，即任意的ε和极限定义都有效，那么具体的εA/2也有效，这就是【使用】极限。另外，在定理3中，当A>0时，若取εA/3，则得到f(x)>2A/3>0，这里的重点是f(x)>0，而不是f(x)大于几。
ε可选，愿意的话可以取ε/3。我们这里讨论的是存在性问题，不是普遍性问题。有一个单元格使f(x)>A/2，但每个单元格都大于A/2。而且这个区间的范围还是和ε的值有关。你的ε变了，这个区间的范围也变了。是可选的。而在高等数学中，∑是一个任意小的数，因为A是不确定的，但是可以有一个A等于∑，那么A/2就是比任何一个小的数。
对于连续函数f(x)，若f(a)>0，则有δ>0，这样当x∑(aδ，aδ)时，f(x)>0以上的>也可以变为0，且有δ>0，这样当x∑(aδ，而你所说的数列极限的保号性，其实是函数极限保号性的一个特例。即自变量不再是x，而是n，n是自然数。但也有特例，比如an (1) n× (1/n)。
最后如果极限不为0，保号性是存在的，你可以理解为函数(数列)极限的号的确定，所以它周围所有非常小的区间都是和它同号的；如果极限为0，函数(序列)正负交替，则没有保号。比较大众化，希望大家理解。“极限”是数学分支微积分的基本概念，广义的“极限”就是“无限接近，永远达不到”。
f(x)A < A/2a/2 < f(x)A < A/2aa/2 < f(x)< A/2a/2 < f(x)> A/2。
6、函数保号性这个问题一定会出现在课本上，可能出现在定理、性质、例题或者习题中。定理如果lim(x→x0)f(x)A>0，有δ>0，使得x∈O*(x0，δ)(离心邻域)有f(x)>A/2>0，证明了对于εA/2>0，由极限定义存在δ>0，使得x∈O*(x0，δ)(向心邻域)有|f(x)A|AεA/2>0。